Bo may la binh day k di hieu ashdbfgbgygygggydfsghuyfhdguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu3

a, Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0< =>a^2-2ab+b^2\ge0< =>a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a-c\right)^2\ge0< =>a^2-2ac+c^2\ge0< =>a^2+c^2\ge2ac\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức sau : \(a^2+b^2+a^2+c^2\ge2ac+2ab< =>2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

a) 2a² + b² + c² ≥ 2a( b + c )

<=> 2a² + b² + c² ≥ 2ab + 2ac

<=> 2a² + b² + c² - 2ab - 2ac ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 2ac + c² ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( a - c )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

b) a⁴ - a³b - ab³ + b⁴ ≥ 0

<=> a³( a - b ) - b³( a - b ) ≥ 0

<=> ( a - b )( a³ - b³ ) ≥ 0

<=> ( a - b )( a - b )( a² + ab + b² ) ≥ 0

<=> ( a - b )²[ ( a² + ab + 1/4b² ) + 3/4b² ] ≥ 0

<=> ( a - b )²[ ( a + 1/2b )² + 3/4b² ) ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : 

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)

b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)

 \(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)

Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)

a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab

\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0

\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)

b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\) 

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

VT : (a + b + c)² + a² + b² + c²

= a² + b² + c² + 2ab +2bc + 2ac + a² + b² + c²

= ( a² + 2ab + b² ) + (b² + 2bc + c²) + ( a² + 2ac + c²)

= (a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = VP

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)

\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)

\(a^2+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac\)

\(a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2\ge0\)

\(\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a^2 + a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) 

Áp dụng bất đt cauchy cho hai số không âm a^2 và b^2 

a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 b^2 ) 

a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2ab ( 1 )

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số không âm a^2 và c^2 

a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 c^2 ) 

a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2ac ( 2 ) 

( 1 ) và ( 2 ) 

Suy ra a^2 + b^2 + a^2 + c^2 lớn hoăn hoặc bằng 2ab + 2ac 

2a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) ( đpcm ) 

2a² + b² + c² ≥ 2a( b + c )

<=> 2a² + b² + c² ≥ 2ab + 2ac

<=> 2a² + b² + c² - 2ab - 2ac ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 2ac + c² ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( a - c )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)